Из чисел 1, 2, , 2010 произвольным образом избрали 673 числа.

Осмотрим, два числа с какими остатками от деления на 6 дают число, делящееся на 6:

1. 0 + 0 0 (mod 6)
2. 1 + 5 0 (mod 6)
3. 2 + 4 0 (mod 6)
4. 3 + 3 0 (mod 6)

В связи с этим у нас может быть очень по одному числу с остатком 0 или 3 от разделенья на 6 (макс. 2 числа). К тому же, если у нас есть число, дающее остаток 1 или 2 от разделения на 6, то не может быть числа с остатком соответственно 5 и 4 (и наоборот) (макс. 670 чисел). Так как можно избрать очень 672 числа, посреди которых нет дающих в сумме число, делящееся на 6, то посреди 673-х чисел непременно найдутся два, дающие в сумме число, делящееся на 6 (принцип Дирихле).