ВНИМАНИЕ!!!Сколько существует естественных чисел n таких, что [n/2] + [n/3] =

Число n может при дроблении на 2 давать остатки 0 или 1.
[n/2] = n/2 либо (n-1)/2
При делении на 3 оно может давать остатки 0, 1 или 2.
[n/3] = n/3 или (n-1)/3 либо (n-2)/3
Получаем 6 уравнений в различных комбинациях.
1) n/2 + n/3 = n - 2
Умножаем все на 6
3n + 2n = 6n - 12
n = 12
2) n/2 + (n-1)/3 = n - 2; n = 10
3) n/2 + (n-2)/3 = n - 2; n = 8
4) (n-1)/2 + n/3 = n - 2; n = 9
5) (n-1)/2 + (n-1)/3 = n - 2; n = 7
6) (n-1)/2 + (n-2)/3 = n - 2; n = 5
Других решениий нет.
Ответ 6 решений

все естественные числа можно разбить на 6 групп:

1) n = 6k

3k + 2k = 6k - 2

k = 2

n = 12 - 1-ое число

2) n = 6k + 1

3k + 2k = 6k - 1

k = 1

n = 7 - 2-ое число

3) n = 6k + 2

3k + 1 + 2k = 6k

k = 1

n = 8 - третье число

4) n = 6k + 3

3k + 1 + 2k + 1 = 6k + 1

k = 1

n = 9 - 4-ое число

5) n = 6k + 4

3k + 2 + 2k + 1 = 6k + 2

k = 1

n = 10 - 5-ое число

6) n = 6k + 5

3k + 2 + 2k + 1 = 6k + 3

k = 0

n = 5 - шестое число

Итого 6 чисел

Ответ: 6