По кругу написано 7 натуральных чисел. Попробуйте доказать,что найдутся два примыкающих

Для 2-ух соседних четных либо двух примыкающих нечетных ничего подтверждать не нужно. Явно, что:

2n + 2(n+k) = 2(2n+k) - четное при всех n; kN, и

(2n - 1) + (2(n+k) - 1) = 2(2n+k) - 2 - четное при любых n; kN.

Допустим, что все числа написаны в очень "досадном" для нас порядке, - четные и нечетные числа чередуются. Возможны 2 варианта: первое число четное и первое число нечетное.

В первом случае рядом оказываются четные числа под номерами 1 и 7 (если 1-ое число четное и одинаково 2n, то и седьмое также четное и одинаково 2(n + k). n; kN).

Во втором случае рядом оказываются нечетные числа под номерами 1 и 7 (если 1-ое число нечетное и одинаково 2n - 1, то и седьмое число также нечетное и равно 2(n + k) - 1. n; kN).

Понятное дело, что сумма 2-ух четных так же, как и сумма 2-ух нечетных чисел, есть число четное:

2n + 2(n + k) = 2(2n + k) - четное при всех n; kN,

2n - 1 + 2(n + k) - 1 = 2(2n + k) - 2 - четное при всех n; kN.

Таким образом, при любом размещении 7 натуральных чисел по кругу всегда найдутся два соседних, сумма которых четна.

при нечётном количестве чисел в кругу сумма первого и заключительного числа всегда будет чётной