Шах разбил собственный квадратный 1-этажный дворец на 64 однообразные квадратные комнаты,

Пробовал различные расположения, и вот что получается- минимальное число дверей получается в вытянутой в одну линию квартире (таковой коридор из комнат, вероятно изгибающийся).

В такой квартире нужно сделать по одной двери в каждой комнате, чтоб попасть в последующую комнату, и только в последней комнате не надобно делать, т.к. мы теснее её соединили с предшествующей. Получается, для такой квартиры число дверей (Д) одинаково числу комнат (К) минус один:

Д(1) = К - 1 -число дверей для первой квартиры

А для 7 таких квартир, число дверей будет на семь меньше числа комнат. А так как суммарное число комнат во всех квартирах одинаково 64, то число дверей будет одинаково:

Д(общ) = Д(1) + Д(2) + Д(3) + Д(4) + Д(5) + Д(6) + Д(7) =

= К(1) - 1 + К(2) - 1 + К(3) - 1 + К(4) - 1 + К(5) - 1 + К(6) - 1 + К(7) - 1 =

= К - 7 = 64 - 7 = 57 дверей

Это и есть малое число дверей для данной задачки.

При этом, можно сделать 6 квартир по восемь комнат, а седьмую- 16 комнат (см.рис.1), либо 6 квартир по одной комнате (см.рис.2), а седьмую- 58 комнат, всё равно общее число дверей будет одинаково 57.

Ответ: 57 дверей.

P.S. наружные двери не рисовал, т.к. о их в задачке не говорится.