По радиальный дорожке в одном направлении двигаются Женя пешком и малыш

Задачку можно решить способом научного тыка

Допустим, в какой-то момент малыш Федя опереждает Женю. Отметим это место специальной ловкой, как условное начало круга. Как только он опереждает Женю, он понимает, что (теперь теснее) она впереди него на расстоянии длины радиальный дорожки (практически она практически вплотную позади него, но ведь дорожка круговая (!), а означает, Женя, как бы и впереди на расстоянии длины дорожки).

Пускай Женя пройдёт после первой встречи целый круг. Для того, чтоб Феде догнать Женю, ему необходимо проехать всю круговую дорожку до того места, где в прошлый раз была Женя (т.е. целый круг) и ещё один круг, чтоб теснее и догнать Женю 2-ой раз. Но для этого ему необходимо было бы ехать вдвое прытче, т.е. на 100% прытче, а он едет только на 75% прытче. Означает, до 2-ой встречи Женя успеет пройти больше, чем один круг.

Итак, беря во внимание это, пускай сейчас до нового места встречи Женя пройдёт целый круг от ловки до ловки, и ещё дополнительно от метки какую-то часть круговой дорожки, назовём это кусок дорожки, а малыш Федя до этого нового места встречи проедет на велике целых два круга и ещё такую же часть дорожки, как и Женя, т.е. таковой же кусок.

Новое место встречи, таким образом, сместилось от исходной ловки на кусок дорожки.

После 2-ой встречи, Федя вновь обгонит Женю и потом вновь повстречается с ней уже в 3-ий раз со смещением ещё на один кусочек дорожки от предшествующего места встречи, которое и так уже было смещено от исходной ловки на кусок дорожки, стало быть, третья встреча сместится от начальной ловки на два куска дорожки.

До второго места встречи Женя прошла
круг и ещё кусочек дорожки,
а Федя проехал два круга и кусочек дорожки.

До третьего места встречи Женя прошла
2 круга и ещё два кусочка дорожки,
а Федя проехал четыре круга и ещё два кусочка дорожки.

До четвёртого места встречи Женя прошла
3 круга и ещё три куска дорожки,
а Федя проехал 6 кругов и ещё три кусочка дорожки.


Заметим, что если бы Женя к четвёртому месту встречи, смещённому от исходной метки на три куска дорожки, прошла бы 4 целые круга (три плюс один), то тогда Федя проехал бы 6 кругов и ещё три кусочка дорожки, т.е. такое же расстояние, как и Женя, а означает ещё один добавочный круг, и всего семь кругов.

И это как раз и сходится с их соотношением скорости. 7 кругов ведь на 75% больше, чем 4 круга. Всё верно, Федя ведь ездит на 75% прытче, а означает, он и обязан проехать не 4 круга, как Женя, а 7 кругов!

Значит, наше предположение верно. К четвёртой встрече Женя проходит четыре полных круга, а стало быть, она приходит к исходной метке, которую мы отметили в месте первой встречи, т.е. место четвёртой встречи совпадает с местом первой встречи. Дальнейшие встречи станут совпадать со встречами в первом цикле рассуждений. Таким образом, всего существует 3 различных места, где Федя обгоняет Женю.



Так же, эту задачку можно решить и аналитически, через введение неведомого параметра скорости, и рассмотрения условной скорости участников, т.е. скорости сближения.

Пусть скорость Жени равна      Тогда скорость Феди одинакова      Когда Федя настигает Женю, их скорость сближения одинакова      (вычитаем, поскольку Женя уходит от догоняющего её Феди, тем самым, как бы мешая ему себя настигать). По другому можно сказать, что скорость Жени в      раза больше, чем скорость сближения, так как  

Когда Федя в очередной раз опереждает Женю, его удалённость от Жени, которую он встретит в будущем, в последующем месте обгона, составляет как раз один круг. За время, пока Федя доедет до нового обгона Жени, Женя пройдет по круговой дорожке в      раза большее расстояние, так как её скорость в      раза больше скорости сближения.

Из этого и следует, что за время меж 2-мя очередными поочередными встречами, которые делят соучастников движения расстоянием в один круг, Женя проходит круг и ещё третья часть радиальный дорожки. Означает за 3 дополнительные встречи (после первой исходной) она и пройдёт полный круг, вернувшись к начальной метке. Т.е. всего существует 3 места, в которых малыш Федя опереждает пешую Женю.


О т в е т : (б) в 3 точках.