В клеточки таблицы 3х3 вписаны 9 разных естественных чисел, сумма которых

Обозначим среднее число, как С (Centre), левое от него L (Left), правое от центра R (Right), ввысь от центра U (Up) и вниз от центра D (Down). Оставшиеся по углам числа обозначим, как x, y, z и t.

    x    U    y
    
    L    C    R

    z    D    t


Сумма в верхнем левом квадрате 2х2:    x + U + L + C ;

Сумма в верхнем правом квадрате 2х2:    U + y + C + R ;

Сумма в нижнем левом квадрате 2х2:    L + C + z + D ;

Сумма в нижнем правом квадрате 2х2:    C + R + D + t ;


Сумма этих четырёх сумм будет:

 S = ( x + U + L + C ) + ( U + y + C + R ) + ( L + C + z + D ) + ( C + R + D + t ) =

 = x + 2U + 2L + 4C + y + 2R + z + 2D + t =

 = x + y + z + t + 2 ( U + L + R + D ) + 4C ;

Нам необходимо достигнуть минимальности S, тогда в естественные числа необходимо брать малые натуральные числа, а означает и число 1. Величина числа C оказывает влияние на общую сумму сильней всего, так как число С берётся 4 раза, с коэффициентом 4, т.е. как 4С, потому в первую очередь минимизировать нужно именно число С. Итак, С = 1 , а 4С=4 .

Оставшиеся величины U, L, R и D влияют на общую сумму с удвоенной силой, так как величина ( U + L + R + D ) берётся 2 раза, с коэффициентом 2, т.е. как 2( U + L + R + D ), потому в эти величины необходимо брать 4 малые натуральные числа хорошие от единицы, т.е. числа 2, 3, 4 и 5, всё равно в каком именно порядке, т.е. просто:

( U + L + R + D ) = ( 2 + 3 + 4 + 5 ) = 14 ;

 2 ( U + L + R + D ) = 28 ;


Мы знаем, что полная сумма обязана быть равна 50, т.е.:

 x + U + y + L + C + R + z + D + t = 50 .

 ( x + y + z + t ) + ( U + L + R + D ) + C = 50 .

Подставим сюда величины,
которым мы теснее присвоили определённые значения:

 ( x + y + z + t ) + 14 + 1 = 50 .

 x + y + z + t = 35 .

Мы никак не ограниченны в выборе разных чисел  x, y, z и t , так что полностью можем подобрать какие-то естественные числа, чтобы это выполнялось, к примеру  ( x + y + z + t ) = ( 7 + 8 + 9 + 11 ) .


Все условия выполнены, числа взяты малые, в сумме квадратика 3х3 они дают 50, сейчас посчитаем сумму всех сумм 2х2:

 S = x + y + z + t + 2 ( U + L + R + D ) + 4C = 35 + 28 + 4 = 35 + 32 = 67 ;


О т в е т : 67 .