Сколько существует натуральных n, наименьших 1031, таких что уравнение a^2+b^2=3^n имеет

Светло, что при n=2k система имеет решение a=3^k, b=0. Покажем, что иных решений нет.

Пусть ни одно из чисел a и b не делится на 3. Покажем, что если число имеет остаток 1 или 2 при разделении на 3, то квадрат этого числа имеет остаток 1 при дробленьи на 3. Вправду, пусть a=3k+1, тогда a=9k+6k+1, если a=3k+2, то a=9k+18k+4, в обоих случаях остаток равен 1. Но сумма 2-ух чисел с остатком 1 при разделеньи на 3 не может нацело делиться на 3, получили противоречие.

Теперь осмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел a и b делится на 3. Если только одно число делится на 3, то сумма квадратов не будет делиться на 3, то есть, такой вариант невероятен. Остается случай, когда на 3 делятся оба числа. Пусть , где p и q - естественные числа, не делящиеся на 3. Ясно, что xlt;n, ylt;n. Если x=y, то, разделив обе доли на , получим уравнение . Поскольку числа p и q не делятся на 3, а величина n-x больше 0, это уравнение корней не имеет. Наконец, осмотрим случай, когда x