Есть 100 разных естественных чисел. Среднее арифметическое любых 6 из них

Из условия следует, что сумма всех 6 чисел из данных 100 делится на 6. Докажем, что все эти числа имеют одинаковый остаток при разделеньи на 6.

Пусть это не так и существуют два числа x и y, дающие различные остатки при делении на 6. Выберем из оставшихся 98 чисел произвольные 5 - a,b,c,d,e. Осмотрим числа M=a+b+c+d+e+x и N=a+b+c+d+e+y. Легко созидать, что эти числа имеют разные остатки при дроблении на 6, поскольку числа x и y имеют разные остатки. Следовательно, одно из этих чисел не делится на 6.

Мы получили противоречие, а означает, у всех 100 чисел остаток при дробленьи на 6 одинаковый. Так как все числа естественны, 1-ое из них не меньше 1, 2-ое не меньше 1+6=7, и так дальше, заключительное не меньше 1+6*99=595.

Ответ: 595.