В треугольнике KLM

Не явно, что т. Р лежит на поперечнике. Это главный момент, который необходимо обосновать.

Она и на самом деле не лежит на поперечнике, она лежит на стороне LM. В 3-ей строке снизу у меня опечатка: обязано быть

Дошло. Вы скажите про поперечник KN. Мне не хотелось двух обозначений для одной и той же точки. Я сходу обозначил буковкой P точку скрещения поперечника KN с LM, а позже обосновал, что при данных углах LP=OL, т.е. точка P как раз такая, что LP=R.