Найдите ВСЕ естественные Х, для которых 3Х+1 и 6Х-2 - четкие

Из первых двух критерий нашёл возможный ответ Х=1. Но единственный ли он, и как использовать заключительнее условие про простое число...

Можно свести два первых условия к так нажываемому диафонтовому уравнению Пелля которое будет иметь решения выразить переменые и подставить, тогда обычное число примет вид P=((sqrt(2)-1)^(8n-4)+(sqrt(2)+1)^(8n-4)-4)/6, допустим при n=1, P=5 нужно показать что оно не может быть иных обычных

Допустим, есть естественное число n. Его квадрат -- это . По условию, и . Так как правые части равны, приравняем левые доли и найдём икс:

.

При x=1 получаем: 3*1+1=4 и 6*1-2=4. Четыре -- это четкий квадрат двойки. А число 6*1*1-1=5 -- обычное. Означает, число 1 удовлетворяет всем трём условиям.

Таких естественных чисел больше не существует. При решении уравнения мы получили только один корень -- единицу. Можно методом подбора по ряду квадратов отыскать ещё корешки. Какие-то из их будут подходить одному условию, какие-то -- сразу двум (первому и второму, или первому и третьему, либо второму и третьему). Но не найдётся ни 1-го числа, которое сразу удовлетворяло бы сразу трём условиям.

Ответ: x=1.