Необходимо подробное решение этих примеров, желанно на листе.4. Даны координаты точекA1,

4. Даны координаты точек: A1(7; 2; 4), A(7; -1; -2), A3(3; 3; 1), A4(-4; 2; 1).

а) вычислить объём тетраэдра A1 A2 A3 A4.

Обретаем координаты векторов:

A1 A2  = (0; -3; -6),

A1 A3 = (-4; 1; -3).

A1 A4 = (-11; 0; -3).

Обретаем векторное творение (A1 A2) х A1 A3).

Творение векторов a  b = aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx      Подставив данные, получаем:                    x   y    z

   (A1 A2) х A1 A3) =  15 24 -12.

Сейчас определяем смешанное произведение векторов:

(A1 A2) х A1 A3) х (A1 A4) = abs(ax1, y1, z1 ; bx2, y2, z2 ; cx3, y3, z3)= x3a1+y3a2+z3a3.

(A1 A2) х A1 A3) х (A1 A4) = (15*(-11) + (24*0+ (-12)*(-3)) = -165 + 0 + 36 = 129.    

Объём пирамиды равен (1/6)*129 = 21,5 куб.ед.

б) составить уравнение плоскости A1 A2 A3.

Если вектор N(A1 А2)  - вектор-нормаль плоскости, а точка M

0(x0; y0; z0) - лежит на плоскости, то уравнение плоскости можно найти по формуле:  

A(x x0) + B(y y0) + C(z z0) = 0.

Т.к. векторное творенье - это вектор ортогональный векторам в произведении, то в качестве вектор-нормали плоскости можно брать векторное творенье любых неколлинеарных векторов лежащих на плоскости. Возьмём  вектор А1А2, который теснее определён.

В качестве точки лежащей на плоскости можно взять всякую из 3-х данных точек. Возьмём точку A1(7;  2;  4).

Подставим в формулу отысканные числа и раскроем скобки:

15(x   7)  + 24(y    2)    12(z  4)  = 0.

15x  +  24y   12z  105 =  0    либо, сократив на 3, получаем:

5x  + 8y    4z  35  =  0.

в) составить уравнение прямой A3(3; 3; 1), A4(-4; 2; 1).

(x - 3)/(-7) = (y - 3)/(-1) = (z - 1)/0 = 0. Это каноническое уравнение.

Параметрическое уравнение прямой:  

x=3-7t  

y=3-t  

z=1+0t.

5. Назвать и выстроить кривую: 9x - 4y + 54x + 8y + 41 = 0.

Это уравнение гиперболы. Детали и график приведены в прибавлении.