Необходимо доскональное решение этих примеров, желательно на листе. Можно в цифровом

Ответ: 1. grad z(-1;1)=-7*i-8*j. 2. Zmin=z(1;4)=-21.

Пошаговое объяснение:

1. grad z=dz/dx*i+dz/dy*j, где dz/dx и dz/dy - приватные производные от z по x и по y соответственно, i и j - орты (единичные векторы) координатных осей x и y. Но dz/dx=2*x+y-6, а dz/dy=x+2*y-9. Вычисляем значения dz/dx и dz/dy в точке Д: dz/dx(-1;1)=-2+1-6=-7, dz/dy(-1;1)=-1+2-9=-8. Тогда grad z(-1;1)=-7*i-8*j.

2. Приравнивая отысканные выражения для приватных производных нулю, получаем систему уравнений:

2*x+y-6=0

x+2*y-9=0

решая которую, обретаем x=1 и y=4 - координаты критичной точки.

Обретаем вторые частные производные:

dz/dx=2, dz/dxdy=1, dz/dy=2. Так как все 2-ые производные есть константы, то вычислять их значения в критической точке не нужно - они в ней имеют такие же значения. Обозначим A=dz/dx=2, B=dz/dxdy=1, C=dz/dy=2. Выражение A*C-B=3 положительно, поэтому функция z в критической точке вправду имеет экстремум. А так как при этом Agt;0, то это - минимум.  Значение функции в критичной точке Zmin=1+1*4+4-6*1-9*4=-21.