Помогите решить пример)) 1+cos10xcos6x=2cos^2 8x+sin^2 8x

Ответ:

cos(2x) + cos(6x) cos(8x) = 1

cos(2x) + cos(6x) = 1 + cos(8x)

1) левая часть по формуле суммы косинусов:

cos(2x) + cos(6x) = 2cos(4x)cos(2x)

2) правая часть по формуле двойного угла:

1 + cos(8x) = 2cos(4x)

3) Итак, получаем уравнение

2cos(4x)cos(2x) = 2cos(4x)

cos(4x)(cos(2x)cos(4x)) = 0

4) По формуле разности косинусов,

cos(2x) cos(4x) = 2sin(3x)sin x

5) итак, конечно получаем:

cos(4x) sin x sin(3x) = 0

Произведение одинаково нулю тогда и только тогда, когда желая бы один из сомножителей равен нулю.

Осматриваем все три варианта:

а) cos(4x) = 0 4x = /2 + k, kZ

x = (2k+1)/8

б) sin x = 0 x = n, nZ

в) но если sin x = 0 (т. е. x = n), то sin(3x) = sin(3n) = 0 автоматом пункт б излишний (заходит в число решений п. в) :

sin(3x) = 0, 3x = m, x = m/3, mZ

Рассмотрим случаи возможного скрещения решений пп. а) и в)

(2k+1)/8 = m/3

3(2k+1) = 8m

2(3k+1) + 1 = 24m

Слева стоит нечётное число, а справа чётное решений нет, т. е. пп. а) и в) не gthtctrf.ncz

в п. в) можно переобозначить mk и записать общий

ОТВЕТ: x (2k+1)/8, k/3, kZ

Пошаговое изъяснение: