Хорда, перпендикулярная радиусу и проходящая через его середину, одинакова стороне правильного

Осмотрим треугольник АОД. Он прямоугольный, поскольку хорда АС перпендикулярна радиусу ОК.
По условию хорда АС разделяет радиус ОК напополам. Так что
ОД = R/2
Но AO = R
Следовательно, ОД = АО/2
Если в прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы, то угол, обратный этому катету, равен 30 градусов.
Докажем это.
ОД/АО = sin OAД
sin ОАД = 1/2
lt;ОАД = 30 градусов
Эти же рассуждения верны для треугольника ДОС, как следует lt; ОСД=30 градусов.
lt; АОС = 180 - (lt;ОАД + lt;ОСД) = 180-(30+30) = 120 градусов.
Линия ДВ разделяет треугольник АВС напополам, так как ОВ общая сторона, АД = ДС, а
lt; АДО = lt;ОДС = 90 градусов.
Можно посчитать чему равен наружный угол АОС:
lt;АОС = 360-120 = 240 градусов.
Тогда lt; АОВ = lt;ВОС = lt; АОС/2 = 240/2=120 градусов.
Так как ОВ = R, то следующие треугольники одинаковы:
АОВ = ВОС = АОС
Как следует, равны и соответствующие стороны треугольника АВС:
АВ = ВС = СА
А это значит, что треугольник АВС равносторонний