Какое меньшее естественное число n, у которого существует три разных натуральных

14^600 = 2^600 * 7^600, потому все обыкновенные делители сомножителей это 2 и 7.

Чтоб n было минимальным, у него не должно быть делителей, хороших от 2 и 7 (если это было бы не так, можно было бы выбросить все другие простые множители и получить меньшее n, у которого можно было бы отыскать те же три делителя).

Пусть ступени двойки, входящие в сомножители, есть a lt;= b lt;= c, при этом a + b + c = 600. Тогда c gt;= 200 (если c lt;= 199, то a + b + c lt;= 3c lt;= 597). Означает, n делится на 2^200.

Подобно, n делится на 7^200. Тогда n gt;= 2^200 * 7^200.

n = 2^200 * 7^200 не подходит: наибольший сомножитель может быть не больше n, другие требовательно меньше n, потому произведение строго меньше n^3 = 14^600.

Последующий по возрастанию вариант n = 2^201 * 7^200. Он подходит: 3-мя делителями можно взять 2^199 * 7^200, 2^200 * 7^200, 2^201 * 7^200.

Ответ: 2^201 * 7^200.