Извещение о числах-близнецах, абсолютных и дружеских числах. 5 класс

Все пары чисел-близнецов, не считая (3, 5), имеют вид \displaystyle 6n\pm 1, 6n\pm 1, так как числа с иными вычетами по модулю 6 делятся на 2 или на 3. Если учесть также делимость на 5, то окажется, что все пары близнецов, не считая первых 2-ух, имеют вид \displaystyle 30n\pm 1 \displaystyle 30n\pm 1, \displaystyle 30n+12\pm 1 \displaystyle 30n+12\pm 1 либо \displaystyle 30n+18\pm 1 \displaystyle 30n+18\pm 1. Для хоть какого целого \displaystyle m\geqslant 2 \displaystyle m\geqslant 2 пара \displaystyle (m,m+2) \displaystyle (m,m+2) является парой чисел-близнецов тогда и только тогда, если \displaystyle 4[(m-1)!+1]+m \displaystyle 4[(m-1)!+1]+m делится на \displaystyle m(m+2) \displaystyle m(m+2) (следствие аксиомы Вильсона).

1-ые числа-близнецы[1]:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

Наибольшими известными ординарными-близнецами являются числа \displaystyle 2996863034895\cdot 2^1290000\pm 1 \displaystyle 2996863034895\cdot 2^1290000\pm 1[2]. Они были найдены в сентябре 2016 года в рамках проекта добровольческих вычислений PrimeGrid[3][4].

Предполагается, что таких пар безгранично много, но это не подтверждено. По первой догадке Харди Литтлвуда (англ.), количество \displaystyle \pi _2(x) \pi _2(x) пар обычных-близнецов, не превосходящих x, асимптотически приближается к

\displaystyle \pi _2(x)\sim 2C_2\int \limits _2^x\frac dt(\ln t)^2, \pi _2(x)\sim 2C_2\int \limits _2^x\frac dt(\ln t)^2,

где \displaystyle C_2 C_2 константа обычных-близнецов:

\displaystyle C_2=\prod _p\geq 3\left(1-\frac 1(p-1)^2\right)\approx 0.6601618158468695739278121100145\ldots \displaystyle C_2=\prod _p\geq 3\left(1-\frac 1(p-1)^2\right)\approx 0.6601618158468695739278121100145\ldots [5]