Найти общее решение дифференциального уравнения:

Отыскать общее решение дифференциального уравнения:

Задать свой вопрос
Агата
Только общее решение? либо задачку Коши тоже ?
2 ответа

y''-6y'+9y=0\; \; ,\; \; y(0)=1\; ,\; y'(0)=0\\\\1)\; \; k^2-6k+9=0\; \; \to \; \; (k-3)^2=0\; ,\; \; k_1=k_2=3\; \; \Rightarrow \\\\\underline y_obshee=C_1\cdot e^3x+C_2\cdot e^3x=e^3x\cdot (C_1+C_2x)\\\\2)\; \; y(0)=1:\; \; 1=e^0\cdot (C_1+C_2\cdot 0)\; ,\; \; 1=C_1\; ,\\\\y'_obshee=3\, e^3x\cdot (C_1+C_2x)+e^3x\cdot C_2\; ,\\\\y'(0)=0:\; \; 0=3\cdot C_1+C_2\; ,\; \; 3\cdot 1+C_2=0\; ,\; C_2=-3\; ,\\\\\underline y_chastn=e^3x\cdot (1-3x)

Ответ:

y=(C_1+C_2x)e^-3x\\

Пошаговое изъясненье:

это однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка, найдем решение вида

y=e^kx, где к - некое число.

Подставим в уравнение:

(e^kx)''-6*(e^kx)'+9*e^kx=0\\k^2*e^kx-6k*e^kx+9*e^kx=0*e^-kx\\k^2-6k+9=0

кстати, это именуется характеристическое уравнение дифференциального однородного уравнения..

k_1=k_2=-3\\

Таким образом решение:

y=(C_1+C_2x)e^-3x\\

P.S.

по Вашим данным можно отыскать и приватное решение:

y(0)=1:\\1=(C_1+C_2*0)e^(-3*0)\\1=C_1*e^0=C_1\\y(x)=(1+C_2x)e^-3x\\y'(0)=0:\\y'(x)=(e^-3x+C_2xe^-3x)'=(e^-3x)'+C_2(xe^-3x)'=-3*e^-3x+C_2(e^-3x-3xe^-3x)=(-3+C_2(1-3x))e^-3x\\0=(-3+C_2(1-3*0))e^(-3*0)=(-3+C_2)*1;C_2=3\\\\y(x)=(1+3x)e^-3x


, оставишь ответ?
Имя:*
E-Mail:


Добро пожаловать!

Для того чтобы стать полноценным пользователем нашего портала, вам необходимо пройти регистрацию.
Зарегистрироваться
Создайте собственную учетную запить!

Пройти регистрацию
Авторизоваться
Уже зарегистрированны? А ну-ка живо авторизуйтесь!

Войти на сайт