точки А(-1,-5,2) B(-6,1,-1)C (3,6,-3) и Д ( -10,6,,7) верщина тетрайдера .найти

Даны верхушки тетраэдра А(-1; -5; 2), B(-6; 1; -1, )C (3; 6; -3) и Д (-10; 6; 7).

1) Длина ребра АС = ((3-(-1)) + (6-(-5)) + (-3-2)) =

                                = (16 + 121 + 25) = 162 12,727922.

2) Площадь грани АСД одинакова половине модуля векторного произведения (АС х АД).

Вектор АС = (4; 11; -5), вектор АД = (-9; 11; 5).

Решение:  S = (1/2) a b

Найдем векторное творенье векторов:  c = a b

a b =  

i j k

ax ay az

bx by bz

 =  

i j k

4 11 -5

-9 11 5

 = i (115 - (-5)11) - j (45 - (-5)(-9)) + k (411 - 11(-9)) =  

 = i (55 + 55) - j (20 - 45) + k (44 + 99) = 110; 25; 143.

Найдем модуль вектора:

c = (cx + cy + cz) = (110 + 25 + 143) = (12100 + 625 + 20449) = 33174 = 33686.

Найдем площадь треугольника:

S =  (1/2)*33686  =  33686/ 2   91.068655 кв.ед.

3) Объем тетраэдра равен (1/6) смешанного творения векторов (АВ х АС) х АД.

Вектор АВ = (-5; 6; -3).

(АВ х АС) =  

i j k

-5 6 -3

4 11 -5

 = i (6(-5) - (-3)11) - j ((-5)(-5) - (-3)4) + k ((-5)11 - 64) =  

 = i (-30 + 33) - j (25 + 12) + k (-55 - 24) = 3; -37; -79.

Объем пирамиды    

         x y z  

AB*AC 3 -37 -79  

   AD -9 11 5  

Творенье одинаково (-27; -407; -395) =  -829.

V = (1/6)*829 = 138,1667 куб.ед.  

4) Вышина тетраэдра ДЕ одинакова H=3V/Sосн.

Sосн = (1/2)*ABxAC) = (1/2)*(3 + (-37) + (-79)) =

         = (9 + 1369 + 6241) = 7619   43,643442.

Н = 3*(829/6)/(7619/2) = 829/7619 9,497418.