Пожалуйста, помогите обосновать, что n! amp;gt; [tex]2^n[/tex] при всех n

Ответ:

Пошаговое изъясненье:

доказательство способом математической индукции

1) при n=4

 4!=1*2*3*4=24 ; 2=2=16 4!gt;2 неравенство правильно

2) представим что неравенство правильно для n=k, k4

 k!2^k (1)

3) проверим верно ли неравенство для n=k+1

(k+1)!=k!*(k+1);  2^(k+1)=2*2^k

к!(к+1)2*2^k  (2) так  как левая часть представляет собой левую часть неравенства (1) умноженную на число k+1 которое gt;4 а правая часть представляет собой правую часть неравенства (1) умноженную на 2

так как 4gt;2 то неравенство (2) правильно  то есть мы обосновали что из того что  из неравенство верно при n=k следует что оно правильно для n=k+1

отсюда по способу математической индукции следует что оно правильно для всех n (n4)