Провести полное исследование и выстроить график функции y= x^4/x^3-1

Ответ:

1. Область определения: x не равно 1.

2. Область значений -- выясним позднее, при рассмотрении поведения функции

3. Функция не является ни чётной, ни нечётной.

4. Точки скрещения с осями координат, в т. ч. нули.

x=0 =gt; y=0

f(x)=0 =gt; x=0

5. Области знакопостоянства

Функция может поменять символ при переходе через нули либо критичные точки

Нуль: 0; критическая точка x=1.

В данном случае критичная точка является обычный, потому при переходе через неё функция меняет знак. А вот нуль -- чётного порядка (4-го) , потому при переходе через него функция не меняет знака.

Двигаемся справа влево по числовой оси:

при xgt;1 ygt;0

при 0lt;xlt;1gt;2^(2/3) =gt; f'(x)gt;0 =gt; f(x) взыскательно однообразно подрастает

1lt;xlt;2^(2/3)gt; f'(x)lt;0 =gt; f(x) требовательно однообразно убывает

---------------------------------------------

При переходе через x=2^(2/3) f'(x) меняет знак с "-" на "+" =gt; имеем локальный минимум x=2^(2/3); y=(4/3)*2^(2/3)

---------------------------------------------

0lt;xlt;1gt; f'(x)lt;0 =gt; f(x) требовательно однообразно убывает

xlt;0 =gt; f'(x)gt;0 =gt; f(x) взыскательно однообразно подрастает

---------------------------------------------

При переходе через x=0 f'(x) меняет знак с "+" на "-" =gt; имеем локальный максимум x=0; y=0

7. Области выпуклости и вогнутости; точки перегиба.

При x, не одинаковом 1:

f''(x) = -(2*(-1)*3x^2)/(x^3-1)^2 - (3*(-2)*3x^2)/(x^3-1)^3 = 6x^2/(x^3-1)^3 * (x^3-1+3) = 6x^2(x^3+2)/(x^3-1)^3

Двигаясь по оси x справа влево и беря во внимание кратность корней и критичной точки, получаем:

xgt;1 =gt; f''(x)gt;0 =gt; f(x) выпукла вниз

0lt;xlt;1gt; f''(x)gt;0 =gt; f(x) выпукла вниз

-2^(1/3)lt;xlt;0gt; f''(x)gt;0 =gt; f(x) выпукла вниз

---------------------------------------------

При переходе через x=0 f''(x) НЕ меняет знака =gt; x=0 НЕ является точкой перегиба

---------------------------------------------

xlt;-2(1/3) =gt; f''(x)lt;0 =gt; f(x) выпукла вверх

---------------------------------------------

При переходе через x=-2^(1/3) f''(x) меняет символ =gt; x=-2^(1/3) является точкой перегиба; y=-2*2^(1/3)

8. Возможные асимптоты.

Вертикальная x=1

Горизонтальных нет, т. к. окончательного предела f(x) при x, стремящемся к плюс/минус бесконечности, не существует.

Наклонная: y=x, т. к. при x, устремляющемся к плюс/минус бесконечности, x/(x^3-1) устремляется к плюс нулю (соответственно, график приближается к асимптоте сверху)

9. Симметричность графика.

Осей и центров симметрии нет.