1)отыскать экстремум функции z=xy при условии x+y=12)отыскать наивеличайшее и меньшее значение

Решение. Область представляет собой часть параболы, лежащую ниже оси ОХ, точки пересечения с осью М1(-1,0) и М2(1,0). Найдём критичные точки: z/x=2x-y ; z/y=x ; 2x-y=0 ; x=0 : y=0 ; М0(0,0)-критическая точка, лежащая снутри области. Найдём критические точки на границе области.  

Если y=4x-4 : z=x+x(4x -4)-2=x+4x+4x-2 ; z =2x+12x-4 ; 2x+12x-4=0 ; 6x+x-2=0; x1=-2/3 ; x2=0,5, подходящие точки М3(-2/3, 20/9) , М4(0,5 ,-3) , пусть сейчас у=0 (ось ОХ) : z=-2, тут критичных точек нет. Сейчас найдём значения z во всех указанных точках и выберем наибольшее и меньшее : z(M0)=z(0,0)=-2 ;  

z(M1)=z(-1,0)=-1 ; z(M2)=z(1,0)=-1 ;  

z(M3)=z(-2/3, 20/9)=-82/27-3,037;  

z(M4)=z(0,5 ; -3)=-13/4-3,25 ; Ответ: zнаим. =z(0,5 ; -3)=-3,25 ;zнаиб. =z(-1,0)=z(1,0)=-1