Вычислите и растолкуйте почему детально каждое деяние

Символ ^ тут указывает, что после него написан показатель ступени.
Скобки я использую для того, чтоб выделить числа в ступени , числители и знаменатели.
Для начала объясню Вам то, что Вы, вероятно, уже понимаете:
9 = 3^2 (3 в квадрате)
Тогда 9^4 можно записать как (3^2)^4, то есть 3 в квадрате возводим в четвертую ступень.
Знаменито, что при строительстве в ступень числа, теснее возведенного в какую-то ступень, основание оставляем без конфигурации, а характеристики ступени перемножаем:
Тогда:
9^4 = (3^2)^4 = 3^8

Ещё можно конвертировать число 18:
18 = 2 9 = 2 3^2, то есть 2 помножить на 3 в квадрате.

Кроме того, нужно держать в голове, что при перемножении чисел с схожим основанием, возведённых в степень, характеристики ступени суммируются, а при разделеньи - вычитаются.

К примеру, 3 в квадрате умножить на 3 в кубе:
3^2 3^3 = 3^(2+3) = 3^5
То есть получится 3 в пятой ступени.
Проверим:
3^2 = 33
3^3 = 333
3^2 3^3 = 33333 = 3^5

Либо 3 в квадрате делим на 3 в кубе:
3^2 : 3^3 = 3^(2-3) = 3^(-1) = 1/3
Проверим:
3^2 / 3^3 = 33 / (333) = 1/3

Отрицательный показатель ступени указывает, что число, возведённое в ступень, оказывается в знаменателе дроби. То есть:
5^(-2) = 1/(5^2) (1 находится в числителе, а 5 в квадрате - в знаменателе.

А сейчас решаем Ваш пример:

(3^6 18) / 9^4 =
= (3^6 9 2) / ((3^2)^4) =
= (3^6 3^2 2) / (3^8) =
= (3^(6+2) 2 / (3^8) =
= (3^8 2) / (3^8) =
(В числителе и знаменателе уменьшаем 3 в восьмой степени. В числителе остается 2)
= 2