Фигура ограничена графиком функции (y=sqrt(x)),прямой (y=2) и осью ординат. В какой

Касательная к графику функции у = х имеет угловой коэффициент, одинаковый производной функции: y' = 1/(2x).

Примем уравнение в виде у = кх + в, где х и у - координаты точки касания. Заместо у подставим x и получим значение отрезка в, отсекаемой касательной на оси Оу.

x = (1/(2x))*х + в. Отсюда получаем в = x/2.

Сейчас перебегаем к треугольнику, интеллигентному этой касательной, осью ординат и прямой у = 2. Его катеты a  b одинаковы:

a = 2 - в = 2 - (x/2) = (4 - x)/2  и  b = a/tg = ((4 - x)/2)/(1/(2x)) =

= 4x - x. Здесь  tg - это угловой коэффициент касательной, равный её производной. Площадь треугольника одинакова:

S = (1/2)*((4 - x)/2)* (4x - x) = (16x - 8x + хx)/4.

Производная площади одинакова S' = (3x + 16 - 16x)/8x.

Приравняем её нулю (достаточно числитель), используя подмену x = t.

Решаем уравнение 3*t^2-16*t+16=0.

Разыскиваем дискриминант:

D=(-16)^2-4*3*16=256-4*3*16=256-12*16=256-192=64;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

t_1=(64-(-16))/(2*3)=(8-(-16))/(2*3)=(8+16)/(2*3)=24/(2*3)=24/6=4;

t_2=(-64-(-16))/(2*3)=(-8-(-16))/(2*3)=(-8+16)/(2*3)=8/(2*3)=8/6=4/3.

Обратная замена: х = t. x1 = 16 (не принимаем по ОДЗ), х2 = 16/9.

Это и есть ответ: х = (16/9).