Дослдити функцю f(x)=x^2-1/4 x^4 на монотоннсть та екстремуми та побудувати ескз

ДАНО: y= -0,25*x+*x.

Исследование:

1. Область определения: D(y)= R, X(-;+)

2. Постоянная. Гладкая. Вертикальных асимптот - нет

3.Поведение на бесконечности. Y(-)= -, Y(+)= -.

4. Нули функции, скрещение с осью ОХ. Y(x)=0.

Применим способ подстановки. z=x.    -0,25z + z= 0

Нули функции: x=-2,  x = х=0,  x = 2.

5. Интервалы знакопостоянства.

Положительна: Y(x) gt;=0 - Х[-2;2].

Отрицательна: Ylt;0 - X(-;-2][2;+).

6. Проверка на чётность. Все ступени при Х: 4, 2 - чётные.

Функция чётная: Y(-x) = Y(x)

7. Поиск экстремумов по первой производной.  

Y'(x) = -x + 2*x = -x*(x - 2) = 0  

Точки экстремумов: x = -2, х = 0,  х  = 2 (1,4)

7. Локальный экстремум: Ymin(0) = 0, Ymax - Y(x) = Y(х) = 1.  

8. Интервалы монотонности.

Убывает - X(-2;0][2;+), подрастает - X(-;-2][0;2]

9. Поиск перегибов по 2-ой производной.

Y"(x) = -3*x + 2 = 0,   x = (2/3) 0.82 - точки перегиба - . Y"(x)gt;0  

10. Вогнутая - "ложка" - X[-0.82;+0.82],

Выпуклая - "горка" - Х(-;-0.82][0.82;+).

11. Область значений. E(y) = [1;-)

12. График функции в приложении.