Найти градиент и производную заданной функции z = xe^y в т.

Question

Найти градиент и производную данной функции z = xe^y в т. M0(1,4) в направлении полосы xy = 4 в сторону убывания аргумента x.

1 ответ

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

Варвара Бамакова · Answer 1 · 2019-09-23 10:16:14+3:00

Для наглядности комфортно провести некое соответствие с трехмерным местом

Понятно что z(x,y) можно в нем изобразить как некую поверхность

$\ x,y,x \cdot e^y\$

Точке (1,4) подходит $z=e^4$ , т.е. точка $(1,4,e^4)$ (*)

Линию $xy=4$ удобнее записать как трехмерную кривую $\ x,y(x),e^4\$ , что будет пересекать поверхность z(x,y) при x=1

Запишем уравнение касательной к этой кривой в точке $(1,4,e^4)$ , в качестве параметра берем переменную x

$\x,4-4(x-1),e^4\$ ()

(рассчитывается по аналогии с $\overset\rightharpoonup r(t)-\overset\rightharpoonup r(t_0)=\fracddt \overset\rightharpoonup r(t_0) \cdot (t-t_0)$ )

В прикрепленном файле нарисована поверхность, кривая и касательная.

Зная уравнение касательной, построим единичный вектор в направлении убывания x:

Пусть x=0, тогда из () получим точку $(0,8,e^4)$

Соотв. единичный вектор в направлении этой точки из (*) имеет вид

$\overset\rightharpoonup n = \-1,4,0\\cdot\frac1\sqrt17$

Понятно что z компонента никак не воздействует на значение производной по направлению, формально вектор можно записать как

$\overset\rightharpoonup n = \-1,4\\cdot\frac1\sqrt17$

И, в конце концов, найдем разыскиваемую производную:

$grad[z(M_0)]\cdot\overset\rightharpoonup n=\left\e^4,1 \cdot e^4\right\ \cdot \-1,4\\cdot\frac1\sqrt17 = \frac3 e^4\sqrt17 \approx 39.726$