Докажите, что посреди ступеней двойки есть две, разность которых делится на

Замечание: в сходственных задачках на принцип Дирихле почти всегда для подтверждения делимости на n довольно осмотреть набор из n+1 числа и остатки от их делимости на n.

__________________

Так и поступим. Осмотрим набор из 2020 различных степеней двойки. Любая из их при разделении на 2019 дает один из 2019 остатков: 0, 1, ... 2017 либо 2018. Тогда, по Принципу Дирихле, в этом комплекте есть по крайней мере два числа, дающих одинаковые остатки при разделеньи на 2019. Пусть 1-ое одинаково  2019a+r, а 2-ое равно 2019b+r, a,b,rN0, r2018. Тогда их разность одинакова 2019a+r-(2019b+r)=2019(a-b) 2019

Подтверждено.