Изучить функции на монотонность и экстремулы.

ДАНО: y(x) = x/(x+1)

ИССЛЕДОВАНИЕ (полное - не нужное - исключить).

1. Область определения функции.

D(y) = R = (-;+) - постоянная.

2. Вертикальных асимптот - нет - нет разрывов.

3. Периодичность - нет - не тригонометрическая.

4. Скрещение с осями координат.

С осью ОХ:  Y=0 при Х = 0 - нуль функции.

С осью ОУ: y(0) = 0.

5. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательна: y(x)lt;0:  X(-;0). Положительна: y(x)0: X[0;+).

6. Проверка на чётность.

y(-x) = - y(x) -  функция нечётная.

7. Первая производная - поиск экстремумов.

y'(x) = -2*x/(x+) - 1/(x+1) = (1 - x)/(x+1) = 0

В числителе:  1-x = (1 - x)*(1 + x) = 0

x1 = - 1,  x2 = 1 - точки экстремумов.

8. Локальные экстремумы.

Минимум: y(-1) = -0.5, максимум: y(1) = 0.5.

9. Интервалы монотонности.

Производная отрицательная -  функция убывает. Функция постоянная - квадратные скобки на границах.

Убывает: X(-;-1][1;+), возрастает: X[-1;1].

10. 2-ая производная - поиск точек перегиба.

y"(x) = - 4*x*(1-x)/(x+1) - 2*x/(x+1) = 2*x*(x-3)/(x+1) = 0

x - 3 = 0,   x1 = 0, x2 = -3, x3 = 3 - точки перегиба.

11. Поведение функции.

Выпуклая - "горка" - X(-;-3][0;3].

Вогнутая - "ложка" - X[-3;0][3;+)

12. Наклонная асимптота: y = k*x+b.

k = lim() Y(x)/x = 0.

b = lim()Y(x) - k*x = 0

Горизонтальная асимптота:  y = 0.

13. Набросок с графиками исследования - в прибавлении.