доказать, что разница между кубом хоть какого числа и самим числом делится

Пусть а - число.
а^3 - а = а(а^2 - 1) = а(а + 1)(а - 1) =
= (а-1)а(а+1)

После преображения начального выражения мы получили творение трех последовательных естественных чисел.

Любое из 3-х поочередных натуральных чисел кратно 3, то есть делится на 3.
Посудите сами:
1, 2, 3
4, 5, 6
7, 8, 9
...
111, 112, 113 и т.д.

Среди трех поочередных естественных чисел, по наименьшей мере одно четное, то есть делится на 2.
Посудите сами:
5, 6, 7
либо
92, 93, 94

Следовательно, разность меж кубом хоть какого числа и самим числом кратна 3, то есть делится на 6.