назовем число суммируемым, если оно представимо в виде суммы восьми различных

Ответ:

N = 36, N = 37

Пошаговое изъясненье:

Сначала докажем, что если число N является суммируемым, то в эту сумму заходит каждое из чисел 1, 2, 3, ..., 7. Пусть это не так, тогда осмотрим меньшее число k, не входящее в эту сумму, где k 7. Покажем, что в этом случае сумма содержит как минимум два числа, великих k. Если бы это было не так, то все числа, не считая 1-го, были бы не больше 7, и при этом в сумму не входило бы одно из чисел 1, 2, 3, ..., 7, т.е. в сумме было бы как минимум два схожих числа, что невероятно.

Обозначим через a меньшее из чисел, великих k, а через b самое великое число суммы. Как показано выше, числа a и b не совпадают, т.е. a lt; b. Заметим, что числа a-1 и b+1 в сумму не входят, так как имеет место равенство a - 1 k, но по предположению число a является минимальным из чисел суммы, которые больше k, а само число k в сумму не заходит. Значит, мы можем поменять в сумме число a на число a-1, а число b на число b+1. В итоге значение суммы не поменяется, а числа в ней по-прежнему останутся различными, а означает, число N не могло быть суммируемым.

Сейчас докажем, что если число N является суммируемым, то в его сумму входят все числа 1, 2, ..., 7, а также или число 8, либо число 9. Вправду, если оставшееся число не меньше 10, то уменьшим его на единицу, а число 7 заменим на число 8. В итоге получим новый набор из восьми чисел, сумма которого по-прошлому одинакова N.

Таким образом, если число N суммируемо, то либо в его сумму входят числа 1, 2, ..., 7, 8 (в этом случае N = 36) или числа 1, 2, ..., 7, 9 (в этом случае N = 37). Несложно созидать, что в обоих случаях наборы слагаемых являются единственно вероятными, так как туда должны заходить все числа 1, 2, 3, ..., 7, а заключительнее число нельзя поменять на другое без изменения суммы.