98 баллов! Пределы последовательностей.9 задача с картинки. Пожалуйста полное и подробнее

Я шёл иным маршрутом, но утверждение подтверждено. Кстати, из выражения 5^(1/n) светло, что если n устремляется к бесконечности, то 1/n устремляется к 0, а 5^(1/n) - к единице.

Но задачка была поставлена именно на внедрение данного утверждения (a_(2k))^2=a_k

Конкретно потому я и счёл необходимым оставить комментарий выше.

Ответ:

Утверждение подтверждено.

Пошаговое разъясненье:

Перепишем n-ный член последовательности в виде an=5^(1/n). Так как n - натуральное число, то при любых n будет выполняться неравенство 1/ngt;0, а вместе с ним и неравенство 5^(1/n)gt;1. Пусть сейчас - сколь угодно малое положительное число. Для того, чтоб обосновать равенство lim an=1, довольно доказать, что существует такое естественное число N, что для всех ngt;N будет производиться неравенство 5^(1/n)-1lt;. Это неравенство можно переписать в виде 5^(1/n)lt;+1. Взяв логарифмы по основанию 5 от обоих долей, получим равносильное ему неравенство 1/nlt;log_5(+1). Из него обретаем ngt;1/log_5(+1). Означает, число N вправду существует, и в качестве него можно взять или само число 1/log_5(+1), если это число естественное, или наиблежайшее к нему наименьшее его естественное число.Таким образом, число N найдено, а вместе с этим подтверждено и утверждение.