(9^10-51) доказать что кратно 83

Доказать, что число (9 - 51) кратно 83.

1) Создадим преобразования с числом (9).  

9  = (9) = 81 = (83-2)

При строительстве двучлена (83-2) в пятую ступень получится шесть слагаемых, из которых 1-ые 5 слагаемых содержат в качестве множителя число 83, а заключительнее слагаемое  одинаково (-2) = -32.

(83-2) = 83k - 32

Таким образом, число 9 воспримет вид:

9 = 83k - 32

2) Сейчас подставим 9 = 83k - 32 в данное число (9-51):

9 - 51 = 83k - 32 - 51 = 83k-83=83*(k-1)

Есть множитель, который кратен 83, означает, и всё число кратно 83.

Доказано!

Пояснение .

Строить бином (83-2) в пятую ступень не обязательно, но если есть желание вычислить (83-2), то можно пользоваться формулой:

(a-b) = a- 5ab + 10ab - 10ab + 5ab - b

(83-2) =  83 - 5*83*2 + 10*83*2-10*83*2+5*83*2-2 =

= 83*(83-10*83+40*83-80*83+80) - 2

Значение выражения в скобках обозначим  через k и получим вид:

83*k - 2 =  83k - 32