Помогите пожалуйста:3Нужно исследовать функцию и выстроить графикy=5/x - x/5

Дана функция y= (5/x) - (x/5).

1) Отыскать область определения функции; 

Есть ограничение: х не может быть равен 0. х  (-; 0) (0; +) (знаменатель не может быть равен нулю).

2) Изучить функцию на непрерывность; 

Есть точка разрыва функции: х = 0.

3) Найти, является ли данная функция четной, нечетной.

Проверим функцию -  четна либо нечетна с помощью соотношений f(-x)=f(x) и f(-x)=-f(x).  

f(-x) = (5/(-x))-((-x) /5) = -(5/x)+(x/5) = -((5/х) -(х/5) = -f(x).

 Функция  нечётная.

4) Отыскать интервалы функции и точки её экстремума ; 

Для того, чтоб отыскать экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корешки этого уравнения будут экстремумами данной функции:  

y = ((5/x) - (x/5)) = (5/x2) - (1/5) = 0.

Решаем это уравнение и его корешки будут экстремумами, но так как переменная только в знаменателе, то производная не может быть одинакова нулю.

Потому функция не имеет экстремумов.  

Так как производная при всех значениях производной имеет только отрицательные значения, то функция на всей области определения убывающая.

5) Отыскать интервалы неровности и вогнутости и точки перегиба графика функции; 

Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - 2-ая производная равняется нулю, корешки приобретенного уравнения будут точками перегибов обозначенного графика функции,  

y'' = 10/х = 0.

Это уравнение не имеет решения, потому у графика нет перегибов.  

Интервалы, где функция выпуклая либо вогнутая, обретаем по знаку 2-ой производной: где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый.

х = -1  -0,5       0,5     1

y'' = -10  -80   80  10

выпуклая на интервалах: (-: 0),

вогнутая на промежутках: (0; ).

6) Найти асимптоты графика функции.

Вертикальная асимптота - это ось Оу (при этом х = 0).

Горизонтальная асимптота у графика функции определяется при нахождении предела функции на бесконечности:

lim(x)5/x-x/5=lim(x) 0=.

Так как пределы бесконечны, горизонтальных асимптот нет. Не считая того, это разговаривает о том, функция не ограничена сверху и не ограничена снизу.

Отсюда обретаем область значений функции.

у (-;  +) .

Наклонные асимптоты. Функция f(x) имеет наклонную асимптоту y = k x + b тогда и только тогда, когда есть окончательные пределы к и в в уравнении у = кх + в.

k=lim(           x)(f(x))/x.

b=lim (         x)[f(x)-kx].

Обретаем коэффициент k:

  k=lim(x)(25-x^2)/(5x*x)=25/(5x^2 )-x^2/(5x^2 )=0-1/5=-1/5.

b=lim(x)(25-x^2)/5x-(-1/5)x=(25-x^2+x^2)/5x=25/5x=0.

Получаем уравнение наклонной асимптоты y=-1/5 x.

График функции, таблица точек для его построения приведены в прибавлении (страничка 6).