Решите задание по высшей арифметике

Ответ: /2

Пошаговое изъяснение:

Применим cледствие из формулы Эйлера:

sin(x)= ( e^(ix) -e^(-ix) )/2i

sin(nx)=( e^(nix) -e^(-n*i*x) )/2i  (n-нечетное  естественное число)

sin(n*x)/sin(x) =  ( e^(nix) -e^(-n*i*x) /(e^(ix) -e^(-ix) )

e^(ix)=a        

e^(-ix)=b=a^(-1)

= (a^n-b^n)/(a-b) =(a^(n-1)  +a^(n-2)*b +a^(n-3)*b^2...+a*b^(n-2)+

+b^(n-1) =  a^(n-1) + a^(n-3) +a^(n-5).....+a^(3-n) +a^(1-n)

Так как  n-нечетное число,то  n-1 четное.

Тогда: sin(nx)/sin(x)=a^(n-1)+a^(n-3)+a^(n-5)...+a^2+1+a^-2...+a^(5-n)+a^(n-3)+

a^(1-n).  (a^0=1)

Поскольку   a^(n-k) +a^(k-n)= e^(i*x*(n-k)) +e^(-i*x*(n-k))=2cos(x*(n-k)) - 2-ое следствие формулы Эйлера.

sin(n*x)/sin(x)= 2* ( сos( (n-1)*x) +cos( (n-3)*x)+cos( (n-5)*x)...+cos(2x)  ) +1

(k-нечетное натуральное число)

Найдем первообразную:  

2* ( сos( (n-1)*x) +cos( (n-3)*x)+cos( (n-5)*x)...+cos(4x)+cos(2x) )+1

F(x)= x+ 2* ( sin(2x)/2 +sin(4x)/4...+sin( (n-5)*x)/(n-5) +sin( (n-3)*x)/(n-3) +

+sin( (n-1)*x)/(n-1))     Очевидно: F(0)=0   ( т.к  sin(k*0)=0)

Так как  вcе показатели четные:

sin(2*m*/2) =sin(m*)=0.

Тогда : F(/2)= /2  

Откуда:  тк    n=2019 -нечетное число.

Ответ: /2