Линейные рекуррентные соотношения первого порядка с переменным коэффициентом.К числу,

Для подтверждения можно использовать индукцию.
Но формулу 2^n - n - 1 можно вывести, исходя лишь из условия задачки. Обозначим через S(n) исследуемое количество переносов и зацелим, что если прибавлением единиц теснее получено число 2^n-1 - 1 (на это потребуется S(n-l) переносов), то еще одно прибавление единицы востребует n - 1 переносов и приведет к числу 2^n-1, двоичная запись которого есть 10...0 (количество нулей после единицы равно n-1).

Далее в процессе достижения числа 11...1 (n единиц) потребуется еще S(n-l) переносов. Получаем рекуррентное уравнение S(n) = 2S(n - 1) + n - 1 или


S(n)-2S(n-l) = n-l, (1)

при этом s(0) = 0.

Характеристическое уравнение, подходящее рекуррентному уравнению (1), имеет вид А - 2 = 0. Общее решение однородного уравнения S(n) - 2S(n - 1) = 0 есть сТ.
Правую часть уравнения (1) можно записать в виде квазиполинома (n-1)*n. Значение 1 не является корнем характеристического уравнения, поэтому (ур. 1) владеет приватным решением вида an + X; подставляя это выражение вместо s(n) в (1), получаем an + X - 2(а(n - 1) + X) = n - 1, и, приравнивая в левой и правой долях коэффициенты при первой и нулевой ступенях n, имеем а = X = -1. Получаем общее решение уравнения (1): S(n) = C2^n- n- 1. Подбираем значение константы стак, чтоб выполнялось S(0) = 0; для этого должно выполняться C 2 - 2 = 0, т. е. C= 1. Итак, будет нужно 2^n- n- 1 переносов единиц в старшие разряды.