1. Постройте график функции y= -x^3-3x^2+4 используя производную.2. При каких значениях

1) Дана функция y= -x^3-3x^2+4.

Её производная равна y' = -3x - 6x = -3x(x + 2).

Приравняем её нулю: -3x(x + 2) = 0. Находим 2 критичные точки:

х = 0 и х = -2.

Определяем их свойства по изменению знака производной.

х =   -3     -2     -1     0      1

y' =  -9      0     3      0     -9 .

В точке х = -2 минимум функции, у = 0.

В точке х = 0 максимум, у = 4.

На интервалах (-; -2) и (0; +) функция убывает

на интервале (-2; 0) подрастает.

2-ая производная одинакова y'' = -6x - 6 = -6(x + 1).

Отсюда определяем точку перегиба х = -1.

х = -2     -1         0

y'' = 6     0        -6.

График выпуклый:  (-1; +), вогнутый (-; -1).

Скрещение с осями решается алгебраически:

- с осью Оу при х = 0 у = 4.

- с осью Ох при у = 0 надобно решить кубическое уравнение  

-x^3-3x^2+4 = 0. Один корень виден: х = 1.

Делим -x - 3x + 4 х - 1

-x + x -x - 4x - 4

-4x + 4

-4x + 4x  

-4x + 4

-4x + 4.

Результат -(x + 4x + 4) = -(х + 2).  

Получили 2 точки скрещения: х = 1 и х = -2.

График приведен в прибавленьи.

2) Вероятные случаи состава корней кубического уравнения исчерпываются тремя, описанными ниже. Эти случаи просто различаются с поддержкою дискриминанта

= -4bd + bc - 4ac + 18abcd - 27ad.

Итак, возможны только три варианта:

Если gt; 0, тогда уравнение имеет три разных вещественных корня.

Если lt; 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.

Если = 0, тогда хотя бы два корня совпадают.

Рассмотрим уравнение -x^3-3x^2+4=0.

Его коэффициенты   a b c d

                                      -1 -3 0 4

Определяем дискриминант:

-4b^3*d b^2*c^2 -4a*c^3 18abcd -27*a^2*d^2 Дискрим

инант

432              0                 0             0             -432           0.

Как лицезреем, при а = 0 уравнение имеет 2 корня.

Это видно и по графику.

F(x)=-x-3x+4

f(x)=-3x-6x

a может возвращать два корня только проходя в точках экстремум.

-3x-6x=0

-3x(x+2)=0

x=0

x=-2

F(0)=4

F(-2)=0

a=-2 и 4 вернёт два корня.