На дощечке в ряд записаны числа: 1,2,3,4,8,9,10,12 за одно действие Диана

Ответ:

заключительнее число может приравниваться 1  и не может быть равным 0 либо 2

Пошаговое изъяснение:

1) Единицу можно получить так ( каждую пару примыкающих чисел сменяем

на  разность большего и наименьшего ) :

2 - 1 ; 4 - 3 ; 9 -8 ; 12 - 10 после 4 шагов получили : 1 ; 1 ; 1 ; 2 ,   далее :        

1 -1 ; 2 -1 , после 6 шагов получили  0 ; 1    1  ( после 7 шагов )

2) посреди данных чисел 3 нечетных ( 1 , 3 , 9 )  , сумма  всех этих чисел

равна 49 ( нечетное число ) , если при первом шаге мы заменим  2

четных  числа на их разность , то количество нечетных чисел посреди оставшихся не поменяется ( одинаково 3 )  , а означает и сумма оставшихся  чисел будет  нечетна , если мы заменим четное и нечетное число на их разность , то приобретенное число будет нечетным и означает в сумме оставшихся будет также  3 нечетных числа и опять сумма будет нечетна ,

а если мы заменим 2 нечетных числа на их разность , то приобретенное число будет четным , но в сумме оставшихся остается одно нечетное число и она опять будет нечетной , значит после первого шага мы получим 7 чисел , посреди которых  3 нечетных либо одно нечетное и сумма этих чисел будет нечетна , осмотрим оба варианта :

a)  осталось одно нечетное , но тогда разность хоть какого четного из оставшихся  и нечетного дает вновь нечетное , а разность 2 четных чисел дает  четное , означает при всех следующих шагах мы будем  получать сумму чисел , среди которых одно нечетное , а означает и сами суммы будут нечетными числами  и последнее число также  будет нечетным

б) если останутся 3 нечетных , то ситуация будет такой же , как и  в начале наших действий и мы вновь получим или 3 нечетных либо одно нечетное , в любом из этих вариантов сумма оставшихся чисел будет нечетна , а означает и после 7 шага получится нечетное число

Мы обосновали , что в итоге может получиться только нечетное число , а означает 0 либо 2 получится не может