Полное исследование и построение графика функцииПомогите пожалуйста

Точка скрещения графика функции с осью координат Оу:  

График пересекает ось Y, когда x приравнивается 0: подставляем x=0 в -x3+3x.

у =-0^3+3*0 = 0,

Итог: y=0. Точка: (0; 0).

Точки скрещения графика функции с осью координат Ох:  

График функции пересекает ось X при y=0, означает, нам надо решить уравнение:  

-x^3 + 3x= 0

Решаем это уравнение и его корни будут точками пересечения с осью Ох:

-x(x^2 3) = 0.

Получаем 3 точки: х = 0, х = 3 и х = -3.

Итог: y=0. Точки: (0; 0), (3; 0) и (-3; 0).

Экстремумы функции:  

Для того, чтоб отыскать экстремумы, необходимо решить уравнение y'=0 (производная одинакова нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:  

y' = -3x^2 + 3 = 0

Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:  

-3(х^2-1) = 0,

х1 = 1,  х2  = -1.

Итог: точки: (1; 2) и (-1; -2).

Интервалы возрастания и убывания функции:  

Находится производная, равняется к 0, отысканные точки выставляются на числовой прямой; к ним добавляются те точки, в которых производная не определена.  

На интервалах обретаем знаки производной

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса изменяется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

x = -2 -1 0 1 2

y' = -9 0 3 0 -9

Минимум функции в точке: х = -1,

Максимум функции в точке: х = 1.

Вырастает на интервале: (-1; 1).

Убывает на интервалах: (-; -1) U (1; +).

Точки перегибов графика функции:  

Найдем точки перегибов для функции, для этого надобно решить уравнение y''=0 - 2-ая производная приравнивается нулю, корешки приобретенного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции.  

Необходимо подсчитать пределы y'' при доводе, устремляющемся к точкам неопределенности функции:  

y'' = -6x = 0.

Решаем это уравнение и его корешки будут точками, где у графика перегибы:  

x=0. Точка: (0; 0).

Интервалы неровности, вогнутости:  

Найдем интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов.

Где вторая производная меньше нуля, там график функции выпуклый, а где больше - вогнутый.

Вогнутая на интервалах: (-; 0),  

Выпуклая на интервалах: (0; ).  

Вертикальные асимптоты нет.  

Горизонтальные асимптоты графика функции:  

Горизонтальную асимптоту найдем с поддержкою предела данной функции при x-gt;+oo и x-gt;-oo. Соответствующие пределы обретаем:  

lim -x3+3x, x-gt;+ =- , означает, горизонтальной асимптоты справа не существует

lim -x3+3x, x-gt;- = , означает, горизонтальной асимптоты слева не существует.

Наклонные асимптоты графика функции.  

Наклонную асимптоту можно отыскать, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x-gt;+oo и x-gt;-oo. Находим пределы:  

lim -x3+3x/x, x-gt;+ = -, означает, наклонной асимптоты справа не существует

lim -x3+3x/x, x-gt;- = , значит, наклонной асимптоты слева не существует

Четность и нечетность функции:  

Проверим функцию -  четна либо нечетна с поддержкою соотношений f(-x)=f(x) и f(-x)=-f(x). Итак, проверяем:  

f(-x) = -(-x)3+3(-x) =  x3-3x  - нет f(-x)