Отыскать наивеличайшее и наименьшее значение функции z=sin x + sin y

Question

Отыскать наивеличайшее и наименьшее значение функции z=sin x + sin y

Отыскать наибольшее и наименьшее значение функции z=sin x + sin y + sin (x+y) в прямоугольнике 0 lt;= х lt;= /2 ; 0 lt;= у lt;= /2

Задать свой вопрос

Дима Асьминин
Математика
2019-09-28 20:18:26
0
1

1 ответ

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

Кто мне поможет, а то я тупенький ?)

10 балловСрочноОдин пример

Задание во вложении.

ДАЮ 40 БАЛЛОВ!!7 классПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!ОЧЕНЬ НУЖНОВ коническом сосуде с водой,

У ЮЛИ НА Деньке РОЖДЕНИИ БЫЛО 14 ГОСТЕЙ.ДВЕ МАМЫ,ОДИН ПАПА.4 Девченки.5

мини сочинение на темуquot; Город Грядущегоquot;

Могут ли неравные прямоугольные треугольники иметь две пары равных сторон?Желанно,с

Куля масою 3 кг пада з висоти 3 м на пружину

Допоможть округлть дроби 42.847 75.830 до десяткв, до сотих

Для танцевального ансамбля было сшито 2 вида костюмов по 8 штук

Буджеран Мария · Answer 1 · 2019-09-28 20:20:52+3:00

Найдем приватные производные:

$\displaystyle\Large z=\sinx+\siny+\sin(x+y)\\\\\partial z\over\partial x=\cosx+\cos(x+y),\;\partial z\over\partial y=\cosy+\cos(x+y)\\\begincases amp;\cosx+\cos(x+y)=0\\ amp;\cosy+\cos(x+y)=0 \endcases\\ \cosx=\cosy\Rightarrow x=y\\\begincases amp; \cosx+\cos(2x)=0 \\ amp; \cosy+\cos(2y)=0 \endcases\\ \cosx+\cos^2x-\sin^2x=0\\ \cosx+\cos^2x-1+\cos^2x=0\\ 2\cos^2x+\cosx-1=0\\ \cosx=t,\; t\in[-1;1]\\2t^2+t-1=0\\D=1+8=9\\t_1=-1+3\over4=1\over2\\t_2=-1-3\over4=-1\\ \cosx=1\over2\\ x_1,2=\pm\pi\over3+2\pi n, n\in\mathbbZ\\ \cosx=-1\\ x_3=\pi+2\pi k, \; k\in\mathbbZ\\ \cosy+\cos^2y-\sin^2y=0\\ \cosy+\cos^2y-1+\cos^2y=0\\ 2\cos^2y+\cosy-1=0\\ \cosy=t,\; t\in[-1;1]\\ 2t^2+t-1=0\\ D=1+8=9\\ t_1=-1+3\over4=1\over2\\ t_2=-1-3\over4=-1\\ \cosy=1\over2\\ y_1,2=\pm\pi\over3+2\pi m, m\in\mathbbZ\\ \cosy=-1\\ y_3=\pi+2\pi c, \; c\in\mathbbZ\\$

Проверим принадлежность точек к нашей области:

$\displaystyle D: \begincases amp; 0\leqx\leq\pi\over2\\ amp;0\leqy\leq\pi\over2 \endcases\\\\ x_1=\pi\over3+2\pi n,\; n\in\mathbbZ,\; y_1=\pi\over3+2\pi m,\; m\in\mathbbZ\\ x_2=-\pi\over3+2\pi l,\; l\in\mathbbZ,\; y_2=-\pi\over3+2\pi w,\; w\in\mathbbZ\\ x_3=\pi+2\pi k,\; k\in\mathbbZ,\; y_3=\pi+2\pi c,\; c\in\mathbbZ \\ 0\leq\pi\over3+2\pi n\leq\pi\over2,\; n\in\mathbbZ\\ -\pi\over3\leq2\pi n\leq\pi\over2-\pi\over3,\; n\in\mathbbZ\\ \left(-1\over6\leq n\leq1\over12,\; n\in\mathbbZ\right)\Rightarrow\mathbfn=0\Rightarrow M_0\left(\pi\over3;\pi\over3\right)\\ 0\leq-\pi\over3+2\pi l\leq\pi\over2,\; l\in\mathbbZ\\ \left(1\over6\leq l\leq5\over12,\; l\in\mathbbZ\right)\Rightarrow\mathbfl\notin\mathbbZ\\ 0\leq\pi+2\pi k\leq\pi\over2,\; k\in\mathbbZ\\ \left(-1\over2\leq k\leq-1\over8,\; k\in\mathbbZ\right)\Rightarrow\mathbfk\notin\mathbbZ\\$

Найдем критичные точки на границах(исходя из уравнений границ области):

$\displaystyle \mathbfy_1=0\\ z=\sinx+\sinx=2\sinx\\ z'=2\cosx\\ 2\cosx=0\\ x_1=\pi\over2+\pi n,\; n\in\mathbbZ\\\\ \mathbfx_2=0\\ z=2\siny\\ z'=2\cosy\\ 2\cosy=0\\ y_2=\pi\over2+\pi k,\; k\in\mathbbZ\\\\ \mathbfy_3=\pi\over2\\ z=\sinx+\cosx+1\\ z'=\cosx-\sinx\\ x_3=\pi\over4+\pi m,\; m\in\mathbbZ\\\\ \mathbfx_4=\pi\over2\\ z=\siny+\cosy+1\\ z'=\cosy-\siny\\ y_4=\pi\over4+\pi c,\; c\in\mathbbZ\\\\ M_1\left(\pi\over2;0\right),\;\;M_2\left(0;\pi\over2\right),\;\;M_3\left(\pi\over4;\pi\over2\right),\;\;M_4\left(\pi\over2;\pi\over4\right)$

Также необходимо проверить и граничные точки прямоугольника:

$\displaystyle M_5\left(0;0\right),\;\;M_6\left(\pi\over2;\pi\over2\right)\\\\ z(M_0)=3\sqrt3\over2\\ z(M_1)=2 \\ z(M_2)=2 \\ z(M_3)=1+\sqrt2 \\ z(M_4)=1+\sqrt2 \\ z(M_5)=0 \\ z(M_6)=2 \\$

Сравним корни:

$\displaystyle 3\over2\sqrt3\;\;\vee\;\; 1+\sqrt2\\9\cdot3\over4\;\;\vee\;\; 1+2\sqrt2+2\\27\over4-12\over4 \;\;\vee\;\; \sqrt8\\\sqrt225\over16\;\;\vee\;\; \sqrt128\over16\RIghtarrow 3\over2\sqrt3gt;1+\sqrt2\\$

$\displaystyle \undersetD\max\;z=z\left(\pi\over3;\pi\over3\right)=3\sqrt3\over2\\ \undersetD\min\;z=z\left(0;0\right)=0$

ОТВЕТ:

$\displaystyle\large\undersetD\max\;z=z\left(\pi\over3;\pi\over3\right)=3\sqrt3\over2\\ \undersetD\min\;z=z\left(0;0\right)=0$

О проекте

Отыскать наивеличайшее и наименьшее значение функции z=sin x + sin y

ОТВЕТ:

Добро пожаловать!