Отыскать интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции у=х^3-6x^2+4

Пошаговое объяснение:

ДАНО:Y(x) = x -6*x +4.

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(y) R,  Х(-;+) - непрерывная , гладкая.

2. Вертикальная асимптота - нет - нет разрывов.

3. Наклонная асимптота - y = k*x+b.

k = lim(+) Y(x)/x = + - нет наклонной (горизонтальной) асимптоты.  

4. Периода - нет - не тригонометрическая функция.

5. Пересечение с осью OХ.  

Применим тригонометрическую формулу Виета.

Разложим многочлен на множители. Y=(x+0,77)*(x-0,88)*(x-5,88)

Нули функции: Х =-0,77, Х =0,88,  Х =5,88

(без комментариев, без расчёта).

6. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательная - Y(x)lt;0 X(-;-0,77]U[0,88;5,88]  

Положительная -Y(x)gt;0 X[-0,77;0,88]U[5,88;+)

7. Скрещение с осью OY. Y(0) =   4

8. Исследование на чётность.  

В полиноме есть и чётные и нечётные ступени - функция общего вида.

Y(-x)

Найдем производную данной функции, у штришок равен

3х-12х+0

Найдем сейчас производную от первой производной, т.е. вторую производную,  она равна6х-12

приравняем к нулю вторую производную 6х-12=0

х=2

Точка 2 разбивает числовую ось на два промежутка, при переходе через которую вторая производная меняет символ с минуса на плюс, значит, х=2 точка перегиба, и при х(-;2) функции выпукла ввысь, а при х(2;+) график функции выпуклый вниз