В полярной системе координат выстроить плоскую фигуру, ограниченную линиями. Отыскать площадь

ДАНО: - функция, r = 4 - окружность,

Отыскать: Площадь фигуры вне окружности.

Пошаговое объяснение - решение силой Ума.

Идея 1. Задачка в полярных координатах. Построение графика без использования дополнительных средств весьма накладно.

Набросок с графиком функции при расчёте через 10 в прибавлении.

Идея 2. Площадь фигуры - разность площадей функции и окружности с r= 4.

Идея 3. Площадь окружности по формуле: S1 = *r = 16 - (запоминаем - позже надобно вычесть).

Идея 4. Площадь ограниченная функцией по формуле:

Пределы интегрирования от а = 0, до  b = 2 - запоминаем.

Мысль 5. Вычисляем значение R()

R() = 16*(1 + sin2).

Коэффициент 16 выносим из под интеграла и приступаем фактически к интегрированию.

Делаем подстановку - sinx = (1-cos2x)/2 и получаем новый интеграл.

В результате получили функцию площади .

Вычисляем на границах интегрирования.

S2(2) = 8*3 = 24 и S2(0) = 0 и

S2 - 24* - площадь функции.

И перебегаем к ответу - вычитаем площадь центрального круга.

S = S2 - S1 =  24* - 16* = 8 (ед.) - площадь фигуры - ответ.