Назовите известное для вас положение центра тяжести некоторых геометрических фигур

Тема 1.5. Центр тяжести тела

1. Центр тяжести однородного тела.

Рассмотрим жесткое тело весом P и объемом V в системе координат Oxyz , где оси x и y связаны с поверхностью земли, а ось z ориентирована в зенит.

Если разбить тело на простые доли объемом Vi , то на каждую его часть будет действовать сила притяжения Pi, направленная к центру Земли. Предположим, что размеры тела веско меньше размеров Земли, тогда систему сил, приложенных к простым долям тела можно считать не сходящейся, а параллельной (рис.1), и к ней применимы все выводы предшествующей главы.

Рис.1. Параллельная система сил

Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести простых долей этого тела.

При определении центра тяжести полезны несколько теорем.

1) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой

плоскости.

2) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести тела находится в этой точке.

2. Методы определения координат центра тяжести.

1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии (рис.2), то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии либо в центре симметрии.

Рис.2. Центр тяжести тел, имеющих ось симметрии

2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число долей (рис.3), для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.

Рис.3. Центр тяжести непрерывный

трудной геометрической фигуры

- центр тяжести и площадь первой фигуры;

- центр тяжести и площадь 2-ой фигуры;

- координата центра тяжести непрерывной сложной геометрической фигуры по оси x;

- координата центра тяжести непрерывный сложной геометрической фигуры по оси y;

3. Способ отрицательных площадей. Частный случай метода разбиения (рис.4). Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной доли известны. Тело в виде пластинки с вырезом представляют композицией непрерывной пластинки (без выреза) с площадью S1 и площади вырезанной доли S2 .

Рис.4. Центр тяжести трудной геометрической фигуры,

имеющей отверстие

- центр тяжести и площадь первой фигуры;

- центр тяжести и площадь 2-ой фигуры;

- координата центра тяжести сложной геометрической фигуры по оси x;

- координата центра тяжести сложной геометрической фигуры по оси y;

3. Координаты центра тяжести неких обычных фигур.

1. Центр тяжести треугольника. Центр тяжести треугольника лежит в точке скрещения его медиан (рис.5). Координаты центра тяжести треугольника представляют собой среднее арифметическое из координат его вершин: xc =1/3(x1+x2+x3) ; yc =1/3(y1+y2+y3).

Рис.5. Центр тяжести треугольника

2. Центр тяжести прямоугольника. Центр тяжести прямоугольника лежит в точке скрещения его диагоналей (рис.6). Координаты центра тяжести прямоугольника рассчитываются по формулам: xc =b/2 ; yc =h/2.

Рисунки по запросу центр тяжести обычных геометрических фигур

Рис. 6. Центр тяжести треугольника

3. Центр тяжести полукруга. Центр тяжести полукруга лежит на оси симметрии (рис.7). Координаты центра тяжести полукруга рассчитываются по формулам: xc =D/2 ; yc =4R/3.

Рисунки по запросу центр тяжести обычных геометрических фигур

Рис. 7. Центр тяжести полукруга

4. Центр тяжести круга. Центр тяжести круга лежит в центре (рис.8). Координаты центра тяжести круга рассчитываются по формулам: xc =R ; yc =R.

Рисунки по запросу центр тяжести обычных геометрических фигур