1*4+2*7+3*10+...+10*31

Ответ: 1210

Пошаговое изъяснение:

Выведем формулу для  суммы:

S= 1*4 +2*7 +3*10 ...+n*(3n+1)

Запишем следующую сумму:

S''= (1^3-2^3)+(2^3-3^3)+(3^3-4^3)...+( n^3 -(n+1)^3)

Явно,что все члены кроме  1^3 и -(n+1)^3 сокращаются:

Тогда : S"=1-(n+1)^3

Запишем формулу  n-го члена в  сумме S'':

a(n)= n^3-(n+1)^3= (n- (n+1) )*( n^2  +n*(n+1) +(n+1)^2)= -(3n^2+3n+1) =

- ( n*(3n+1)+(2n+1) )

Откуда:

-S''= (n+1)^3-1 = (1*4 +3)+(2*7 +5) +(3*10+7)...+(n*(3n+1) +(2n+1) )=

= S+ (3+5+7+9...+2n+1)

3+5+7+9..+2n+1= (n+1)^2-1  (сумма арифметической прогрессии)

P.S  прытко получил  формулу используя всем хорошо известный ряд сумму последовательных нечетных чисел:

1+3+5+7+9...+2n-1= n^2

Тогда:

S=(n+1)^3-1 -(n+1)^2 +1= (n+1)^3-(n+1)^2= (n+1)^2*n

Итак:

1*4 +2*7 +3*10 ...+n*(3n+1)= n*(n+1)^2

Тогда:

1*4+2*7+3*10+...+10*31=10*11^2=1210

Ответ: 1210