Равнобедренный треугольник с углом при верхушке 120 и боковой стороной а

При вращении данного треугольника вокруг боковой стороны выходит тело вращения, состоящее из конуса с образующей AB (основание ABC) и конуса с образующей СА (боковая сторона ABC). Оба конуса имеют равное основание окружность радиуса OA. Радиус окружности основания конусов перпендикуляр, опущенный из вершины A ABC на ось вращения.

Объем тела вращения (V) будет равен разности объемов великого (V) и малого (V) конусов.  V = V V ;

Объем конуса  V = 1/3 * SoH; So площадь основания, H вышина конуса.

В прямоугольном треугольнике AOC  lt;ACO = 60 , так как он смежный с заданным углом ABC lt;ACB = 120 (сумма смежных углов = 180). Тогда lt;OAC = 180 90 60 = 30. Боковая сторона ABC AC является гипотенузой AOC = a. Катет, лежащий против угла 30 равен половине гипотенузы. Вышина малого конуса CO = a/2.

Найдем радиус окружности по т.Пифагора из AOC: OA = R; R = a (a/2) = a (a/4) = 3a/4; R =a*3/2;

Площадь основания So=R = 3a/4;  

Высота великого конуса H = a+a/2 = 3a/2;  

Объем большого конуса V = 1/3 *  3a/4 * 3a/2 = 3a/8;

Объем малого конуса V = 1/3 *  3a/4 * a/2 = a/8;

Объем тела вращения V = V V =  3a/8 - a/8 = 2a/8 = a/4.