помогите решить площадь любой закрашеной фигуры. есть ли какой-нибудь способ, чтобы

Если на каком-или промежутке функция f(x) отрицательна, то на этом промежутке площадь фигуры, ограниченной графиком этой функции, находится как интеграл не от f(x)*dx, а от -f(x)*dx. Или можно оставить f(x)*dx, но тогда нужно поменять местами пределы интегрирования.

К примеру, в 1 функция на промежутке (0;1) отрицательна. Поэтому площадь ограниченной графиком этой функции фигуры на этом промежутке можно или отыскать как интеграл от функции y=-(-x^3+4*x^2-3*x)=x^3-4*x^2+3*x с нижним и верхним пределами пределами интегрирования 0 и 1, или как интеграл от функции y=-x^3+4*x2-3*x, но с нижним пределом 1 и верхним 0.

Ну а остальное - простая геометрия на плоскости, которую те, кто изучает интегралы, обязаны знать.

Ответ:

Пошаговое разъясненье: 1. Суммируем интегралы на 2 отрезках. При чем первый со знаком "-", т.к. площадь под осью ОХ

S=-(-x+4x-3x)dx+(-x+4x-3x)dx

2. Тут поначалу надо отыскать точки пересечения с ОХ, чтоб иметь пределы интегрирования. Интеграл опять с минусом.

S=-(x-4)dx , или можно S=-2(x-4)dx

3-5. Подобно. Функция одна и та же участвует в интеграле. Разделяем на интервалы, меняем пределы. Не забываем минус, когда площадь под ОХ.

6,7. Здесь под интегралом разность. 1-ая функция та, что "сверху". Интервалы не разделяем, если площадь цельная.

Пишем так: (для 6 номера) на участке интегрирования -1;2 x+2x,

потому (x+2-x)dx.

(Для 7 номера): (-x-(x-2))dx

8. Поначалу обретаем точки скрещения графика с графиком y=1:

3-x=1, x=2  Далее все так же

(3-x-1)dx

На первых 5 образцах мы вносили в интеграл только одну функцию, потому что вторая линия была  y=0. Оттого и минус возникает, когда y=0 находится сверху. К примеру в 1 номере:

(0-(-x+4x-3x))dx  и на последующем промежутке:

(-x+4x-3x-0)dx

Вывод: отымать надобно всегда. (Мы просто не пишем ноли, когда имеем дело с y=0). От функции , кот "сверху" отнимаем функцию, кот "снизу". Если участвуют три функции, тогда дробим интервалы интегрирования так, чтоб фигура ограничивалась 2мя! функциями.

Фуррора)