Решить дифференциальное уравнение отыскать общее и приватное решение[tex]y039;039;+5y039;=4e^x[/tex]

Question

Решить дифференциальное уравнение отыскать общее и приватное решение
$y''+5y'=4e^x$

2 ответа

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

Катюша Залкиева · Answer 1 · 2019-10-01 14:12:35+3:00

$y''+5y'=4e^x$

Общее решение неоднородного уравнения равно сумме решений однородного и приватного уравнений.

Составим и решим характеристическое уравнение.

$y(x)=e^kx\\y'(x)=ke^kx\\y''(x)=k^2e^kx\\k^2e^kx+5ke^kx=0\\e^kx(k^2+5k)=0\\e^kx\neq 0\\k^2+5k=0\\k_1=0,k_2=-5$

находим решение однородного уравнения

$y_o.o=C_1+C_2e^-5x$

Т.к 4 не корень характеристического уравнения и его надуманная часть одинакова нулю, то приватное решение будем отыскивать в виде

$\overliney=Ae^x$

Найдём первую и вторую производные, обусловь коэффициент A

$\overliney'=Ae^x\\\overliney''=Ae^x\\Ae^x+5Ae^x=4e^x\\6A=4\\A=\frac46=\frac23$

Составим общее решение неоднородного уравнения

$y__O._H=C_1+C_2e^-5x+\frac23e^x$

Gennadij Hlystalov · Answer 2 · 2019-10-01 14:08:15+3:00

Решим характеристическое уравнение к+5к=0, откуда к=0, к=-5

Общее решение однородного уо.о.=с+се

частное решение неоднородного отыскиваем в виде уч.н.= ае

обретаем первую и вторую производные этой функции, получим

первая производная одинакова ае, вторая производная одинакова ае, подставляем эти данные в уравнение для определения коэффициента а.

ае+5ае=4е, откуда а=4/6=2/3

общее решение неоднордного одинаково сумме общего решения однородного и приватного решения неоднородного, т.е.

У=с+се+2е/3