Отыскать интеграл dx / sqrt(8+2х-х^2)

Вычислим интеграл:

dx/(sqrt(8+2х-х^2))

где sqrt -- означает корень квадратный.

Для начала упростим подкоренное выражение:

8+2х-х^2=-x^2+2x+8=-(x^2-2x-8)=-(x^2-2x+1-9)

Из формул сокращенного умножения мы знаем, что a^2-2ab+b^2=(a-b)^2. Получаем:

-(x^2-2x+1-9)=-((x-1)^2-9)=9-(x-1)^2

Вернемся к интегралу:

dx/(sqrt(8+2х-х^2))=dx/(sqrt(9-(x-1)^2)

Произведем замену x-1=u, dx=du, тогда:

dx/(sqrt(9-(x-1)^2)=du/(sqrt(9-u^2))

Из таблицы интегралов мы знаем, что: dx/(sqrt(a^2-x^2)=arcsin(x/a)+C
где C -- константа

du/(sqrt(9-u^2))=du/(sqrt(3^2-u^2))=arcsin(u/3)+C=arcsin((x-1)/3)+C=sin^(-1)((x-1)/3)+C

Ответ: dx/(sqrt(8+2х-х^2))=arcsin((x-1)/3)+C=sin^(-1)((x-1)/3)+C