Обосновать что дробь m(m-5)/2 есть целое число при любом натуральном m

Представим, что m - нечётное число. Тогда при вычитании из него 5 (тоже нечетное), мы получим чётное число, т.к. нечётное минус нечётное, всегда даёт чётное. А при умножении нечётного числа (в данном случае m, которое за скобками) на чётное (приобретенная разность) всегда получаем чётное. Хоть какое четное число делится на 2 без остатка. Означает получится целое число.
Если же m - чётное, то при вычитании из него 5, получится нечётное число. Дальше умножаем чётное на нечётное и получаем опять чётное.