Дана арифметическая прогрессия (an ). Найдите 1-ый член прогрессии , разность,

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии аn = a1 + (n - 1) * d,
где а1 - 1-ый член арифметической прогрессии, d - разность арифметической прогрессии.
Сообразно условию задачи, a7 = 12 и a11 = 22, как следует, имеют место последующие соотношения:
a1 + (7 - 1) * d = 12,
a1 + (11 - 1) * d = 22.
Решаем полученную систему уравнений. Вычитая из второго уравнения первое, получаем:
10 * d - 6 * d = 22 - 12;
4 * d = 10;
d = 10 / 4;
d = 2.5.
Подставляя отысканное значение d в 1-ое уравнение системы, получаем:
a1 + 6 * 2.5 = 12;
a1 + 15 = 12;
a1 = 12 - 15;
а1 = -3.
Зная а1 и d, находим а15:
а15 = a1 + (15 - 1) * d = a1 + 14 * d = -3 + 14 * 2.5 = -3 + 35 = 32.
Используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии Sn = (2 * a1 + d * (n - 1)) * n / 2 при n = 25, обретаем сумму первых 25 членов данной прогрессии:
S25 = (2 * a1 + d * (25 - 1)) * 25 / 2 = (2 * a1 + d * 24) * 25 / 2 = 2 * (a1 + d * 12) * 25 / 2 = (a1 + d * 12) * 25 = (-3 + 2.5 * 12) * 25 = (-3 + 30) * 25 = 27 * 25 = 675.

Ответ: d = 2.5, а1 = -3, а15 = 32, S25 = 675.