Можно ли расставить знаки арифметических действий заместо в записи 7(777)7 ,

Можно:
7(7:7+7):7 = 78:7 = 8.
В задании записано 7, какое-то деянье, операции в скобках, какое-то деяние и опять 7. Пробуем подставлять арифметические деяния: если 7 умножить на какое-то число, а позже поделить на 7, то получим тоже число. Отсюда вывод: если в скобках получится 8, то задание имеет решение.
Смотрим запись в скобках. У нас одни операции над числами 7. Чтоб получить число 8, нужно к 7 добавить 1. Единицу мы можем получить, разделив число само на себя ,то-есть 7:7. По правилам: сначала решаем деянья в скобках, в скобках поначалу деление, позже сложение. Получаем записанное решение.