4cos3x-cos6x=4cos9x-cos18x

http://bit.ly/2rdxa2y,
http://bit.ly/2rOJkBJ,
http://bit.ly/2r4JL9w

4cos3x - cos6x = 4cos9x - cos18x,
4cos3x - 4cos9x = cos6x - cos18x.
4(cos3x - сos9x) = cos6x - cos18x.
1. Разность косинусов преобразуем по формуле разности тригонометрических функций:
cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2].
В нашем выражении (cos3x - cos9x) А = 3х, В = 9х; в выражении (cos6x - cos18x) А = 6х, В = 18х.
Как следует, проучим:
4 *(-2)sin[(3x+9x)/2]*sin[(3x-9x)/2] = -2sin[(6x+18x)/2]*sin[(6x-18x)/2],
-8sin6x*(-sin3x) = -2sin12x*(-sin6x),
8sin6xsin3x = 2sin12xsin6x,
4sin6xsin3x = sin12xsin6x,
4sin6xsin3x - sin12xsin6x = 0,
sin6x(4sin3x - sin12x) = 0,
1) sin6x = 0,
6x = Пк,
х = Пк/6.
2) 4sin3x - sin12x = 0,
2. Выразим sin12x через формулу двойного довода:
sin2x = 2sinxcosx. В нашем случае заместо 2х имеем аргумент 12х, означает аргумент х будет равен 6х, то есть sin12x = 2sin6xcos6x.
Как следует, получим:
4sin3x - 2sin6xcos6x = 0,
3. Выразим sin6x по формуле двойного аргумента как 2sin3xcos3x и полставки в наше уравнение. Получим:
4sin3x - 2 * 2sin3xcos3x * соs6x = 0,
4sin3x - 4sin3xcos3xсоs6x = 0,
4. Вынесем за скобки общий множитель 4sin3x:
4sin3x(1 - cos3xcos6x) = 0,
1) 4sin3x = 0,
sin3x = 0,
x = Пк/3.
2) 1 - cos3xcos6x = 0,
Заменим cos6x по формуле двойного довода:
cos2x = 2cos^2(x) - 1. В нашем случае заместо аргумента 2х имеем аргумент 6х, означает аргумент х заменим на 3х:
1 - cos3x(2cos^2(3x) - 1) = 0,
Выразим cos3x через t:
1-t(2t^2 - 1) = 0,
2t^3 - t - 1 = 0,
(t - 1)(2t^2 + 2t + 1) = 0,
1) t -1 = 0,
t = 0.
2) 2t^2 + 2t + 1 = 0,
D = -4lt;0, означает решений нет.
Возвратимся к подмене cos3x= t:
cos3x = 1,
X = 2Пк/3.
Накажем три корня:
Х1 = Пк/6,
Х2 = Пк/3,
Х3 = 2Пк/3.
Отметим приобретенные значения на тригонометрическом круге. Видим, что х1 = Пк/6 содержит все остальные решения.
Ответ: х = Пк/6, к е Z.